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Ley de senos y cosenos para tuberos: resolver un rodeo que no cierra a 90°

Casi todo en tubería se resuelve con triángulos rectángulos, hasta que el rodeo esquiva un equipo con dos codos de distinto ángulo o hasta que mides en campo tres distancias y necesitas el ángulo para cortar. Ahí entra el triángulo oblicuo, y se resuelve con dos leyes que caben en una tarjeta.

Cómo se hace, paso a paso

  1. Dibuja el triángulo con los tres puntos: los dos centros de codo y el punto de llegada. Nombra lados a, b, c y ángulos A, B, C opuestos a cada lado.
  2. Identifica qué tres datos tienes: tres lados (LLL), dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), dos ángulos y un lado (ALA o AAL), o dos lados y un ángulo no incluido (LLA, el caso que puede tener dos soluciones).
  3. Con LLL o LAL usa la ley de cosenos para sacar el lado o el ángulo que falta.
  4. Con cualquier ángulo y su lado opuesto ya conocidos, usa la ley de senos para el resto.
  5. Comprueba: los tres ángulos deben sumar 180° y el lado mayor está frente al ángulo mayor.
  6. Los ángulos del triángulo son los ángulos entre tramos; el ángulo del codo es 180° menos ese ángulo.
Fórmula
c² = a² + b² − 2·a·b·cos C (ley de cosenos)a / sen A = b / sen B = c / sen C (ley de senos)A + B + C = 180°

Lados en la misma unidad; ángulos en grados. En el caso LLA, si sen B sale mayor que 1 no hay triángulo; si hay dos valores de B (B y 180° − B) hay dos soluciones y la geometría del sitio decide.

Datos que tienesPrimero usaLuego
3 lados (LLL)Cosenos para un ánguloSenos para los otros
2 lados + ángulo entre ellos (LAL)Cosenos para el tercer ladoSenos
2 ángulos + 1 ladoSuma 180° para el tercer ánguloSenos para los lados
2 lados + ángulo no incluido (LLA)Senos (puede dar dos soluciones)Revisar cuál cabe en campo

Ejemplo resuelto

Rodeo medido en campo: del primer codo al segundo 5.00 m, del segundo a la llegada 7.00 m, y el ángulo entre esos dos tramos 120° (es decir, el codo del medio desvía 60°).

Paso 1 — Lado que cierra: c = √(5² + 7² − 2·5·7·cos 120°) = √(25 + 49 + 35) = √109 = 10.44 m

Paso 2 — Ángulo en la llegada: sen A / 5 = sen 120° / 10.44 → sen A = 0.4147 → A = 24.5°

Paso 3 — Ángulo en el primer codo: B = 180 − 120 − 24.5 = 35.5°

Resultado: La distancia directa entre el primer codo y la llegada es 10.44 m: eso es lo que debe medir el iso. Si el iso dice 10.20 m, algo está mal medido en campo o mal cotado, y es mejor encontrarlo antes de cortar.

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Dónde aparece en el oficio

Rodeos con codos de 30° y 60° combinados para librar un equipo; injertos a un ángulo medido con tres distancias; verificación de que las coordenadas de un iso cierran (norte, este y elevación son tres lados de triángulos sucesivos); y el mitrado de un codo a un ángulo raro, donde el gajo central es un trapecio que se parte en triángulos.

La científica de la app trabaja en grados y tiene las inversas (asen, acos, atan); con eso y estas dos leyes no hay rodeo que no cierre en papel antes de cortar.

Errores comunes:

• Usar la ley de cosenos con el ángulo que no está entre los dos lados.

• Trabajar la calculadora en radianes.

• Tomar el ángulo del triángulo como ángulo del codo: el codo es el suplemento (180° menos).

• Ignorar la segunda solución del caso LLA.

Referencias: Geometría; sin norma aplicable. Los valores son de referencia; la spec del proyecto y un ingeniero responsable validan la decisión.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo uso cosenos y cuándo senos?

Cosenos cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos o los tres lados. Senos cuando ya tienes un par lado–ángulo opuesto.

¿Cómo paso del ángulo del triángulo al ángulo del codo?

El codo desvía 180° menos el ángulo interior del triángulo en ese vértice. Un ángulo interior de 120° es un codo de 60°.

¿Qué pasa si los lados no forman triángulo?

Si un lado es mayor que la suma de los otros dos, no cierra: una de las tres medidas está mal.

¿Sirve para verificar coordenadas de un iso?

Sí: entre dos puntos, las diferencias de norte, este y elevación forman un triángulo (dos, en 3D); el lado que cierra es la distancia real del tramo.

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